関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$

ここで、$\log$ の微分は $\frac{1}{x}$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1})$

次に、$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を計算する。

$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1}) = \frac{d}{dx} x + \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} = 1 + \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1}$

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1}$ を計算するために、再度合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$