関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$u = x \log x - x$ と置くと、$y = u^2$ となる。連鎖律（チェインルール）より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(x \log x - x)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算する。$u = x \log x - x$ なので、積の微分法を使う。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log x) - \frac{d}{dx} (x)$

$\frac{d}{dx} (x \log x) = (\frac{d}{dx} x) \log x + x (\frac{d}{dx} \log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \log x + 1 - 1 = \log x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x = 2x (\log x - 1) \log x = 2x \log x (\log x - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \log x (\log x - 1)$