関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ ($x > 0$) を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ ($x > 0$) を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。

商の微分公式は、 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

である。

今回の問題では、$u(x) = \log(x+1)$、$v(x) = x$ である。

$u'(x) = \frac{1}{x+1}$

$v'(x) = 1$

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \log(x+1) \cdot 1}{x^2}$

$y' = \frac{\frac{x}{x+1} - \log(x+1)}{x^2}$

$y' = \frac{\frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x+1}}{x^2}$

$y' = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$