関数 $y = \sin x \cos 2x$ を $x$ で微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos 2x$ を $x$ で微分する。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用する。

ここで、$u = \sin x$ と $v = \cos 2x$ とおく。

まず、$u' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ である。

次に、$v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x)$ を計算する。

合成関数の微分を使用し、$2x$ を $w$ とおくと、$\cos w$ の微分は $-\sin w$ であり、$w$ の微分は $\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$ である。したがって、$v' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$ となる。

積の微分公式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)'(\cos 2x) + (\sin x)(\cos 2x)' = \cos x \cos 2x + \sin x (-2 \sin 2x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2 \sin x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2 \sin x \sin 2x$