関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

対数関数の微分と合成関数の微分を使用します。

$\log(x)$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用します。

まず、$u = x + \sqrt{x^2 + 2}$ とおくと、$y = \log(u)$ となります。

このとき、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$ です。

次に、$u = x + \sqrt{x^2 + 2}$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

合成関数の微分より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ですから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 2}}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$