関数 $y = (\log(x^2 + 2x))^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log(x^2 + 2x))^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェーンルール）を使用します。

まず、$u = \log(x^2 + 2x)$ とおくと、$y = u^3$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(\log(x^2 + 2x))^2$

次に、$v = x^2 + 2x$ とおくと、$u = \log(v)$ となります。

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 2x}$

$\frac{dv}{dx} = 2x + 2$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(\log(x^2 + 2x))^2 \cdot \frac{2(x+1)}{x^2 + 2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)(\log(x^2 + 2x))^2}{x^2 + 2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)(\log(x^2 + 2x))^2}{x(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)(\log(x^2 + 2x))^2}{x(x+2)}$