関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分する。

2. 解き方の手順

関数の微分には、商の微分公式を利用します。商の微分公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ があるとき、それらの商 $\frac{u(x)}{v(x)}$ の微分は次のようになります。

$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

今回の問題では、$u(x) = \log x$ と $v(x) = x^2$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分を求めます。

$u'(x) = \frac{1}{x}$

$v'(x) = 2x$

次に、商の微分公式に当てはめます。

$y' = \frac{(\frac{1}{x})(x^2) - (\log x)(2x)}{(x^2)^2}$

式を整理します。

$y' = \frac{x - 2x\log x}{x^4}$

$y' = \frac{x(1 - 2\log x)}{x^4}$

$y' = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$