関数 $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ を使用します。

ここで、$u = \sin x$ と $v = 1 + \cos x$ です。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \cos x) = -\sin x$

次に、商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を使用して式を簡略化します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2}$

最後に、共通因子 $1 + \cos x$ を約分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \cos x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \cos x}$