以下の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\sin x}$

1. 問題の内容

以下の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\sin x}$

2. 解き方の手順

(1)

ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx} [(1+x)\sin x - x\cos x] = \sin x + (1+x)\cos x - \cos x + x\sin x = \sin x + \cos x + x\cos x - \cos x + x\sin x = \sin x + x\cos x + x\sin x$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx} [x^2] = 2x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + x\cos x + x\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} + \frac{x\cos x}{2x} + \frac{x\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} + \frac{\cos x}{2} + \frac{\sin x}{2}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2} = 0$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$

(2)

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\sin x}$

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx} [e^{x^2} - \cos x] = 2xe^{x^2} + \sin x$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx} [x\sin x] = \sin x + x\cos x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{2xe^{x^2} + \sin x}{\sin x + x\cos x}$

再度ロピタルの定理を適用します。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx} [2xe^{x^2} + \sin x] = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} + \cos x$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx} [\sin x + x\cos x] = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} + \cos x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{2e^{0} + 4(0)^2e^{0} + \cos 0}{2\cos 0 - (0)\sin 0} = \frac{2(1) + 0 + 1}{2(1) - 0} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{3}{2}$