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定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ を計算する問題です。積分範囲が $-1$ から $1$ であること、および被積分関数 $(x^2 - 1)^5$ が偶関数であることから、$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx = 2 \int_{0}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ を利用して計算します。展開された式は $\int_{-1}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx$ となっています。

解析学定積分偶関数積分計算多項式
2025/7/7

1. 問題の内容

定積分 ∫−11(x2−1)5dx\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx を計算する問題です。積分範囲が −1-1 から 11 であること、および被積分関数 (x2−1)5(x^2 - 1)^5 が偶関数であることから、∫−11(x2−1)5dx=2∫01(x2−1)5dx\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx = 2 \int_{0}^{1} (x^2 - 1)^5 dx を利用して計算します。展開された式は ∫−11(x10−5x8+10x6−10x4+5x2−1)dx\int_{-1}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx となっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を計算するために、多項式を項別に積分します。
∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C を用いて、各項を積分します。
∫−11(x10−5x8+10x6−10x4+5x2−1)dx=2∫01(x10−5x8+10x6−10x4+5x2−1)dx\int_{-1}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx = 2 \int_{0}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx
=2[x1111−5x99+10x77−10x55+5x33−x]01= 2 \left[ \frac{x^{11}}{11} - \frac{5x^9}{9} + \frac{10x^7}{7} - \frac{10x^5}{5} + \frac{5x^3}{3} - x \right]_0^1
=2(111−59+107−105+53−1)= 2 \left( \frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} - \frac{10}{5} + \frac{5}{3} - 1 \right)
=2(111−59+107−2+53−1)= 2 \left( \frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} - 2 + \frac{5}{3} - 1 \right)
=2(111−59+107+53−3)= 2 \left( \frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} + \frac{5}{3} - 3 \right)
次に、括弧内を通分して計算します。公分母は 11⋅9⋅7=69311 \cdot 9 \cdot 7 = 693 なので、
=2(63693−5⋅77693+10⋅99693+5⋅231693−3⋅693693)= 2 \left( \frac{63}{693} - \frac{5 \cdot 77}{693} + \frac{10 \cdot 99}{693} + \frac{5 \cdot 231}{693} - \frac{3 \cdot 693}{693} \right)
=2(63−385+990+1155−2079693)= 2 \left( \frac{63 - 385 + 990 + 1155 - 2079}{693} \right)
=2(−246693)=−492693= 2 \left( \frac{-246}{693} \right) = \frac{-492}{693}
最後に、分数を約分します。492 と 693 はどちらも 3 で割り切れるので、
−492693=−164231\frac{-492}{693} = \frac{-164}{231}
−492693=−4⋅413⋅7⋅11=−4×41231\frac{-492}{693} = -\frac{4 \cdot 41}{3 \cdot 7 \cdot 11} = -\frac{4 \times 41}{231}
さらに約分できないので、
=−328693= -\frac{328}{693}
問題文中に与えられた解答は −512693-\frac{512}{693} ですが、これは誤りです。

3. 最終的な答え

−328231-\frac{328}{231}
与えられた解き方の画像の解答 −512693-\frac{512}{693}は誤りです.
修正：
=2(111−59+107−2+53−1)=2(63−385+990−1386+1155−693693)=2(−246693)=−492693=−164231= 2 \left( \frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} - 2 + \frac{5}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{63 - 385 + 990 - 1386 + 1155 - 693}{693} \right) = 2\left( \frac{-246}{693} \right) = -\frac{492}{693} = -\frac{164}{231}.

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