定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ の値を計算する問題です。積分範囲が $-1$ から $1$ であり、被積分関数が偶関数であることから、積分を $2\int_{0}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ と変形して計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ の値を計算する問題です。積分範囲が $-1$ から $1$ であり、被積分関数が偶関数であることから、積分を $2\int_{0}^{1} (x^2 - 1)^5 dx$ と変形して計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2 - 1)^5$ を展開します。

$(x^2 - 1)^5 = x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1$

次に、展開した多項式を積分します。

$\int (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx = \frac{1}{11}x^{11} - \frac{5}{9}x^9 + \frac{10}{7}x^7 - \frac{10}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - x$

積分範囲 $-1$ から $1$ で積分するので、$x^{11}, x^9, x^7, x^5, x^3, x$は奇関数です。つまり、

$\int_{-1}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx = 2\int_{0}^{1} (x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1) dx$

$=2[\frac{1}{11}x^{11} - \frac{5}{9}x^9 + \frac{10}{7}x^7 - \frac{10}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - x]_0^1$

$=2(\frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} - \frac{10}{5} + \frac{5}{3} - 1)$

$=2(\frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} - 2 + \frac{5}{3} - 1)$

$=2(\frac{1}{11} - \frac{5}{9} + \frac{10}{7} + \frac{5}{3} - 3)$

通分して計算します。公分母は $11 \times 9 \times 7 = 693$ なので、

$=2(\frac{63}{693} - \frac{385}{693} + \frac{990}{693} + \frac{1155}{693} - \frac{2079}{693})$

$=2(\frac{63 - 385 + 990 + 1155 - 2079}{693})$

$=2(\frac{-256}{693})$

$=-\frac{512}{693}$

3. 最終的な答え

$-\frac{512}{693}$