定積分 $\int_{-1}^{1} x^2(x^2+1)^2 dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} x^2(x^2+1)^2 dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$x^2(x^2+1)^2 = x^2(x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 + 2x^4 + x^2$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{-1}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx$

被積分関数は偶関数なので、以下の性質を利用できます。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$ (f(x) が偶関数の場合)

よって、

$\int_{-1}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx = 2\int_{0}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx$

次に、積分を計算します。

$2\int_{0}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx = 2\left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2x^5}{5} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1$

$= 2 \left( \frac{1}{7} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \right) - 2(0)$

$= 2 \left( \frac{15 + 42 + 35}{105} \right) = 2 \left( \frac{92}{105} \right) = \frac{184}{105}$

3. 最終的な答え

$\frac{184}{105}$