定積分 $\int_{1}^{9} x\sqrt{x} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

**問題 4**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} x\sqrt{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x\sqrt{x}$ を $x$ の指数で表します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$となります。

したがって、積分は $\int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} dx$ となります。

次に、不定積分 $\int x^{\frac{3}{2}} dx$ を計算します。べきの積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$ となります。

したがって、定積分は

$\int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} dx = \left[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{5}(9^{\frac{5}{2}} - 1^{\frac{5}{2}})$

$9^{\frac{5}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^5 = 3^5 = 243$ であり、$1^{\frac{5}{2}} = 1$ であるので、

$\frac{2}{5}(243 - 1) = \frac{2}{5}(242) = \frac{484}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{484}{5}$

**問題 5**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} (\sqrt[3]{x^2} - 4\sqrt{x} + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{x^2}$ と $\sqrt{x}$ を $x$ の指数で表します。$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、積分は $\int_{0}^{3} (x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{2}} + 1) dx$ となります。

次に、不定積分 $\int (x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{2}} + 1) dx$ を計算します。各項を個別に積分すると、

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$

$\int 4x^{\frac{1}{2}} dx = 4\int x^{\frac{1}{2}} dx = 4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

$\int 1 dx = x + C$

したがって、

$\int (x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{2}} + 1) dx = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}} + x + C$ となります。

定積分は

$\int_{0}^{3} (x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{2}} + 1) dx = \left[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}} + x \right]_{0}^{3}$

$= \left( \frac{3}{5}(3^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{3}(3^{\frac{3}{2}}) + 3 \right) - (0)$

$= \frac{3}{5}(3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}) - \frac{8}{3}(3\sqrt{3}) + 3$

$= \frac{9}{5} 3^{\frac{2}{3}} - 8\sqrt{3} + 3$

$= \frac{9}{5} \sqrt[3]{9} - 8\sqrt{3} + 3$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{5}\sqrt[3]{9} - 8\sqrt{3} + 3$