定積分 $\sqrt{5} \int_{0}^{a} t\sqrt{t^2+4} dt$ を計算します。ただし、$a$は定数です。

1. 問題の内容

定積分 $\sqrt{5} \int_{0}^{a} t\sqrt{t^2+4} dt$ を計算します。ただし、$a$は定数です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int t\sqrt{t^2+4} dt$ を計算します。

$u = t^2+4$ と置換すると、$du = 2t dt$ となります。したがって、$t dt = \frac{1}{2} du$ です。

よって、不定積分は次のようになります。

$\int t\sqrt{t^2+4} dt = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (t^2+4)^{\frac{3}{2}} + C$

したがって、

$\int t\sqrt{t^2+4} dt = \frac{1}{3} (t^2+4)^{\frac{3}{2}} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{a} t\sqrt{t^2+4} dt = \left[ \frac{1}{3} (t^2+4)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a} = \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (0^2+4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (2^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (2^3) = \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{3}$

最後に、$\sqrt{5}$ を掛けます。

$\sqrt{5} \int_{0}^{a} t\sqrt{t^2+4} dt = \sqrt{5} \left( \frac{1}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{3} \right) = \frac{\sqrt{5}}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{8\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{3} (a^2+4)^{\frac{3}{2}} - \frac{8\sqrt{5}}{3}$