$\sin 20^\circ + \sin 140^\circ + \sin 260^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin 20^\circ + \sin 140^\circ + \sin 260^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 140^\circ$ を変形します。

$\sin 140^\circ = \sin (180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$

次に、$\sin 260^\circ$ を変形します。

$\sin 260^\circ = \sin (180^\circ + 80^\circ) = -\sin 80^\circ$

または

$\sin 260^\circ = \sin (270^\circ - 10^\circ) = -\cos 10^\circ$

したがって、与えられた式は

$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \sin 80^\circ$ となります。

ここで、$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を利用すると

$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2\sin\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2} = 2\sin 30^\circ \cos (-10^\circ) = 2\cdot \frac{1}{2}\cos 10^\circ = \cos 10^\circ$

したがって、

$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \sin 80^\circ = \cos 10^\circ - \sin 80^\circ = \cos 10^\circ - \cos (90^\circ-80^\circ) = \cos 10^\circ - \cos 10^\circ = 0$

または、

$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ + \sin 260^\circ = \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \sin 80^\circ$

$= \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \sin 80^\circ$

$= \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \sin (60^\circ + 20^\circ)$

$= \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - (\sin 60^\circ \cos 20^\circ + \cos 60^\circ \sin 20^\circ)$

$= \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \sin 20^\circ)$

$= \frac{1}{2} \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ$

$= \frac{1}{2} \sin 20^\circ + 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ$

3. 最終的な答え

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