定積分 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数を用いて解くことができます。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この問題では、$a^2 = 4$ なので、$a = 2$ です。

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{2}) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \left[ \arcsin(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

積分の上端と下端を代入します。

$= \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(\frac{0}{2})$

$= \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(0)$

$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$