(1) 三角形ABCにおいて、$BC = a$, $AB = c$, $a \cos A = c \cos C$であるとき、三角形ABCはどのような三角形か。 (2) 3辺の長さが$x$, $x+1$, $x+2$である三角形が鈍角三角形となるような$x$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCにおいて、$BC = a$, $AB = c$, $a \cos A = c \cos C$であるとき、三角形ABCはどのような三角形か。

(2) 3辺の長さが$x$, $x+1$, $x+2$である三角形が鈍角三角形となるような$x$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}$

$a \cos A = c \cos C$に代入すると

$\frac{c \sin A}{\sin C} \cos A = c \cos C$

$\sin A \cos A = \sin C \cos C$

$\frac{1}{2} \sin 2A = \frac{1}{2} \sin 2C$

$\sin 2A = \sin 2C$

よって

$2A = 2C$ または $2A = \pi - 2C$

$A = C$ または $A + C = \frac{\pi}{2}$

したがって、三角形ABCは$A = C$の二等辺三角形または$B = \frac{\pi}{2}$の直角三角形である。

(2)

三角形が成立するためには、

$x > 0$

$x + (x+1) > x+2$

$2x + 1 > x + 2$

$x > 1$

また、一番長い辺が$x+2$なので、

$(x+2)^2 > x^2 + (x+1)^2$

$x^2 + 4x + 4 > x^2 + x^2 + 2x + 1$

$0 > x^2 - 2x - 3$

$0 > (x-3)(x+1)$

$-1 < x < 3$

$x > 1$と合わせて

$1 < x < 3$

3. 最終的な答え

(1)

$A=C$の二等辺三角形または$B=\frac{\pi}{2}$の直角三角形

(2)

$1 < x < 3$