125個の小立方体を積み重ねてできた大きな立方体がある。図の斜線部分から反対側まで垂直に穴を通すとき、穴の開いていない小立方体の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

125個の小立方体を積み重ねてできた大きな立方体がある。図の斜線部分から反対側まで垂直に穴を通すとき、穴の開いていない小立方体の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、125個の小立方体からなる立方体の1辺の小立方体の個数を求めます。

$5 \times 5 \times 5 = 125$ なので、大きな立方体の1辺は5個の小立方体で構成されています。

次に、穴の開いている小立方体の個数を数えます。

- 上から見た面：4個の穴

- 正面から見た面：2個の穴

- 横から見た面：1個の穴

それぞれの穴は立方体を貫通しているので、それぞれの穴によって5個の小立方体に穴が開きます。

したがって、

上から見た穴：$4 \times 5 = 20$ 個

正面から見た穴：$2 \times 5 = 10$ 個

横から見た穴：$1 \times 5 = 5$ 個

ここで重複を考えます。

上から見た穴と正面から見た穴の交点には、穴が2つ開いている小立方体が1個あります。これは2回カウントされているので、1を引きます。

上から見た穴と横から見た穴の交点には、穴が2つ開いている小立方体が0個あります。

正面から見た穴と横から見た穴の交点には、穴が2つ開いている小立方体が0個あります。

3つの穴が交わる点はありません。

したがって、合計の穴の開いている小立方体の個数は、$20 + 10 + 5 - 1 = 34$ 個です。

最後に、穴の開いていない小立方体の個数を計算します。

$125 - 34 = 91$ となります。

しかし、図をよく見ると、重複して穴が開いている箇所があり、計算が間違っていることがわかります。

改めて、穴の開いている小立方体を数えます。

上面の穴は4つで、それぞれ5個の立方体を貫通するので $4 \times 5 = 20$個です。

正面の穴は2つですが、上面の穴と交わっているものが1つあるので、$2 \times 5 - 5 \times 1 = 5$個追加されます。ただし、上面の穴との交点は1個ですので、$2 \times 5 - 1 = 9$個です。上面の穴との重複を1つ除くと、$9-1=8$個です。

右側面の穴は1つですが、上面の穴と交わっていないので、$1 \times 5 = 5$個です。

合計 $20 + 8 + 5 = 33$個です。

穴の開いていない小立方体は、$125 - 33 = 92$個です。

しかし、選択肢に答えがありません。

図を再度確認すると、上面から見た時に縦に貫通している穴が4つ、正面から見て縦に貫通している穴が2つ、側面から見て縦に貫通している穴が1つあります。

縦に貫通する穴はそれぞれ5個の小立方体を通ります。

よって、穴の開いている小立方体は、 $4 \times 5 + 2 \times 5 + 1 \times 5 = 20 + 10 + 5 = 35$個です。

ただし、重複を考慮する必要があります。上面と正面で重複する小立方体は1つです。よって、 $35 - 1 = 34$ 個となります。

穴の開いていない小立方体は、$125 - 34 = 91$ 個となります。

やはり、選択肢に答えがありません。

図から穴の開いた小立方体の数を数える方法で考える。

穴の開いていない小立方体は、大きな立方体の内側にある。

内側の小立方体は、$3 \times 3 \times 3 = 27$個

側面の穴に接しない小立方体は、

上面：$3 \times 5 = 15$個

正面：$3 \times 3 = 9$個

側面：$3 \times 3 = 9$個

$27 + 15 + 9 + 9 = 60$

穴の開いている小立方体は全部で

$125 - 60 = 65$

となり、答えが選択肢にないため、穴の開いていない立方体は

$125 - (4*5 + 2*5 + 1*5 - 1 ) = 125 - 34 = 91$ となり、答えが選択肢にありません。

立方体全体から穴の開いた部分を引くという考え方で計算できないため、穴の開いていない立方体を直接数えます。

図より、穴の開いていない小立方体は、$3 \times 3 \times 3$の立方体の中に含まれる $3 \times 3 \times 3=27$ 個と、側面に位置するものを足し合わせて計算します。

- 上面では穴が通っていない箇所が3 x 5 = 15個

- 正面では、穴が通っていない箇所が 2 x 3 = 6個

- 側面では、穴が通っていない箇所が 2 x 3 = 6個

重複箇所を考慮すると穴の開いていない立方体は $27 + 15 + 6+6 = 54$個

再度図を確認します。

上面からみた穴の数は４つ。

正面からみた穴の数は２つ。

側面から見た穴の数は１つ。

穴が開いている箇所は、

4x5 + 2x5 + 1x5 = 20+10+5=35

重複している箇所を考えると

上面から見た穴と正面から見た穴の重複が１つ。

上面から見た穴と側面から見た穴の重複なし。

正面から見た穴と側面から見た穴の重複なし。

よって、穴が開いているのは35 - 1 = 34箇所。

穴の開いていないのは、125-34=91箇所。

選択肢にありません。

3. 最終的な答え

選択肢に正しい答えがないため、解答不能。