原点Oを中心とする半径1の扇形Tがある。扇形Tはx軸に関して対称であり、中心角は120°である。扇形Tに内接する座標軸に平行な辺をもつ長方形ABCDを考える。点Aの座標を $(\cos\theta, \sin\theta)$ ($0^\circ < \theta < 60^\circ$)とおくとき、長方形ABCDの面積Sを$\theta$を用いて表し、その最大値を求める。

## 解答

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径1の扇形Tがある。扇形Tはx軸に関して対称であり、中心角は120°である。扇形Tに内接する座標軸に平行な辺をもつ長方形ABCDを考える。点Aの座標を $(\cos\theta, \sin\theta)$ ($0^\circ < \theta < 60^\circ$)とおくとき、長方形ABCDの面積Sを$\theta$を用いて表し、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

* **長方形の面積を求める**

長方形ABCDの面積Sは、縦の長さと横の長さの積で求められる。

* 縦の長さ：$2\sin\theta$

* 横の長さ：$\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta$

したがって、長方形ABCDの面積Sは、

$S = 2\sin\theta(\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta)$

$S = 2\sin\theta\cos\theta - \frac{2}{\sqrt{3}}\sin^2\theta$

* **面積の式を変形する**

$S$を三角関数の公式を用いて変形する。

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$と$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$を用いると、

$S = \sin 2\theta - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2}$

$S = \sin 2\theta - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\cos 2\theta$

$S = \sin 2\theta + \frac{1}{\sqrt{3}}\cos 2\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}$

さらに、$R\sin(2\theta + \alpha) = \sin 2\theta + \frac{1}{\sqrt{3}}\cos 2\theta$となる$R$と$\alpha$を求める。

$R = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cos \alpha = \frac{1}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{6}$ (30°)

したがって、

$S = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{\sqrt{3}}$

* **面積の最大値を求める**

$0^\circ < \theta < 60^\circ$なので、

$0^\circ < 2\theta < 120^\circ$

$30^\circ < 2\theta + 30^\circ < 150^\circ$

よって、$2\theta + 30^\circ = 90^\circ$のとき、$S$は最大値をとる。

このとき、$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$なので、

$S_{max} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

また、このとき、$\theta = 30^\circ$

* **面積の式を整理する**

$S = 2\sin\theta(\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta)$

より、$S = 2\sin\theta(\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta) = 2\sin\theta(\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta)$

したがって、選択肢から選ぶものは、(5) $\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta$なので、番号は5

3. 最終的な答え

$S = 2\sin\theta(\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta)$

最大値 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

選択肢の番号：5