関数 $y = \tan^2 x$ を微分して、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^2 x$ を微分して、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \tan^2 x$ を微分します。これは合成関数の微分なので、チェーンルールを使います。

まず、$u = \tan x$ とおくと、$y = u^2$ となります。

すると、$\frac{dy}{du} = 2u$ と $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ となります。

チェーンルールより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \sec^2 x = 2 \tan x \cdot \sec^2 x$

3. 最終的な答え

$y' = 2 \tan x \sec^2 x$