不等式 $\sqrt{2} \cos{\theta} + 1 < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2} \cos{\theta} + 1 < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$\sqrt{2} \cos{\theta} + 1 < 0$

$\sqrt{2} \cos{\theta} < -1$

$\cos{\theta} < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos{\theta} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{\theta}$ の値が $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ より小さくなるような $\theta$ の範囲を求めます。

単位円上で考えると、$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{4}$ と $\theta = \frac{5\pi}{4}$ のときです。

$\cos{\theta} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}$ の範囲です。

一般解を求める場合は、$2n\pi$ (nは整数)を足し合わせます。

$\frac{3\pi}{4} + 2n\pi < \theta < \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4} + 2n\pi < \theta < \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)