$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するような $a$ の値を求め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するような $a$ の値を求め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

極限が存在するためには、 $x \to 2$ のとき、分子が 0 に収束する必要がある。つまり、 $\sqrt{2a+3} - 1 = 0$ でなければならない。

$\sqrt{2a+3} - 1 = 0$

$\sqrt{2a+3} = 1$

$2a+3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

したがって、$a = -1$ である。

$a = -1$ のとき、$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2}$ を計算する。

分子の有理化を行う。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{-x+3}-1)(\sqrt{-x+3}+1)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(-x+3)-1}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)} = \lim_{x \to 2} \frac{-x+2}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)} = \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3}+1}$

$x \to 2$ のとき、 $\sqrt{-x+3}+1 \to \sqrt{-2+3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$

よって、$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3}+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$

極限値 $= -\frac{1}{2}$