$(\frac{1}{5})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{5})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$(\frac{1}{5})^n < 0.0001$ は $5^{-n} < 10^{-4}$ と書き換えられます。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 5^{-n} < \log_{10} 10^{-4}$

$-n \log_{10} 5 < -4$

$n \log_{10} 5 > 4$

$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$n(0.6990) > 4$

$n > \frac{4}{0.6990}$

$n > 5.722460658 \ldots$

$n$ は整数なので、これを満たす最小の整数は6です。

3. 最終的な答え

6