定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 4 - x^2$ と置換します。すると、$du = -2x \, dx$ となり、$x \, dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x = 1$ のとき $u = 4 - 1^2 = 3$ であり、$x = 2$ のとき $u = 4 - 2^2 = 0$ です。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx = \int_{3}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} du$

積分の向きを反転させると符号が変わるので、

$-\frac{1}{2} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} du$

$u^{\frac{1}{2}}$ の積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ なので、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$