双曲線 $x^2 - 2y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を、定数 $k$ の値によって分類しなさい。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - 2y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を、定数 $k$ の値によって分類しなさい。

2. 解き方の手順

双曲線 $x^2 - 2y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点を求めるために、連立方程式を解きます。

$y = x + k$ を $x^2 - 2y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 - 2(x + k)^2 = 4$

$x^2 - 2(x^2 + 2kx + k^2) = 4$

$x^2 - 2x^2 - 4kx - 2k^2 = 4$

$-x^2 - 4kx - 2k^2 - 4 = 0$

$x^2 + 4kx + 2k^2 + 4 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (4k)^2 - 4(1)(2k^2 + 4) = 16k^2 - 8k^2 - 16 = 8k^2 - 16 = 8(k^2 - 2)$

判別式 $D$ の符号によって共有点の個数が決まります。

* $D > 0$ のとき、2つの実数解があり、共有点は2個です。

$8(k^2 - 2) > 0$

$k^2 - 2 > 0$

$k^2 > 2$

$k < -\sqrt{2}, k > \sqrt{2}$

* $D = 0$ のとき、1つの実数解があり、共有点は1個です。

$8(k^2 - 2) = 0$

$k^2 - 2 = 0$

$k^2 = 2$

$k = \pm \sqrt{2}$

* $D < 0$ のとき、実数解はなく、共有点は0個です。

$8(k^2 - 2) < 0$

$k^2 - 2 < 0$

$k^2 < 2$

$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

* $k < -\sqrt{2}, k > \sqrt{2}$ のとき、共有点は2個

* $k = \pm \sqrt{2}$ のとき、共有点は1個

* $-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$ のとき、共有点は0個