与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。3つの小問があり、それぞれ条件が異なります。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている。 (2) 最大値を取るxの値と、別のxの値に対するyの値が与えられている。 (3) 通る3点の座標が与えられている。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。3つの小問があり、それぞれ条件が異なります。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている。

(2) 最大値を取るxの値と、別のxの値に対するyの値が与えられている。

(3) 通る3点の座標が与えられている。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が(2, 1)なので、2次関数を $y = a(x-2)^2 + 1$ とおくことができます。

このグラフが点(4, -7)を通るので、$x = 4, y = -7$ を代入して、$a$ を求めます。

$-7 = a(4-2)^2 + 1$

$-7 = 4a + 1$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、2次関数は $y = -2(x-2)^2 + 1$ となります。展開して整理すると、$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 1 = -2x^2 + 8x - 8 + 1 = -2x^2 + 8x - 7$ となります。

(2) $x = -1$ で最大値8を取るので、頂点の$x$座標が$-1$、$y$座標が$8$です。

よって、2次関数は $y = a(x+1)^2 + 8$ とおくことができます。

$x=-1$で最大値を取るので、$a < 0$です。

また、$x = -3$のとき$y = 0$となるので、これを代入して$a$を求めます。

$0 = a(-3+1)^2 + 8$

$0 = 4a + 8$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、2次関数は $y = -2(x+1)^2 + 8$ となります。展開して整理すると、$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 8 = -2x^2 - 4x - 2 + 8 = -2x^2 - 4x + 6$ となります。

(3) 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点(-1, 3), (1, 1), (3, -5)を通るので、それぞれの点を代入します。

$3 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 3$

$1 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 1$

$-5 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 9a + 3b + c = -5$

3つの式を連立して解きます。

$a - b + c = 3$ (1)

$a + b + c = 1$ (2)

$9a + 3b + c = -5$ (3)

(2) - (1)より、$2b = -2$ よって $b = -1$

(3) - (2)より、$8a + 2b = -6$

$b = -1$を代入して、$8a - 2 = -6 \Rightarrow 8a = -4 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$

(2)に$a = -\frac{1}{2}, b = -1$を代入して、$-\frac{1}{2} - 1 + c = 1 \Rightarrow c = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

よって、2次関数は $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 7$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 6$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}$