$a < b$ を満たす定数 $a, b$ がある。2次関数 $y = ax^2 + b$ のグラフが点 $(1, 10)$ を通り、直線 $y = -8x$ と点 $(c, d)$ で接するとき、$b$ と $d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a < b$ を満たす定数 $a, b$ がある。2次関数 $y = ax^2 + b$ のグラフが点 $(1, 10)$ を通り、直線 $y = -8x$ と点 $(c, d)$ で接するとき、$b$ と $d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + b$ が点 $(1, 10)$ を通ることから、以下の式が成り立つ。

$10 = a(1)^2 + b$

$10 = a + b$ ...(1)

次に、$y = ax^2 + b$ と $y = -8x$ が点 $(c, d)$ で接するので、$ax^2 + b = -8x$ という方程式は $x = c$ を重解にもつ。

$ax^2 + 8x + b = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = 8^2 - 4ab = 64 - 4ab = 0$

$64 = 4ab$

$ab = 16$ ...(2)

式(1)より、$a = 10 - b$ であるから、これを式(2)に代入すると

$(10 - b)b = 16$

$10b - b^2 = 16$

$b^2 - 10b + 16 = 0$

$(b - 2)(b - 8) = 0$

よって、$b = 2$ または $b = 8$。

問題文より $a < b$ であるから、

$b = 2$ のとき $a = 10 - 2 = 8$ となり、$a < b$ を満たさない。

$b = 8$ のとき $a = 10 - 8 = 2$ となり、$a < b$ を満たす。

したがって、$a = 2$、$b = 8$ である。

$y = 2x^2 + 8$ と $y = -8x$ が接する点の $x$ 座標 $c$ は、

$2x^2 + 8x + 8 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

よって、$c = -2$ である。

$y = -8x$ に $x = -2$ を代入すると、$y = -8(-2) = 16$

したがって、$d = 16$。

3. 最終的な答え

$b = 8$

$d = 16$