全体集合 $U = \{x | -4 \le x \le 6, x \text{は整数}\}$、部分集合 $A = \{2, a-1, a\}$、 $B = \{-4, a-3, 10-a\}$ が与えられている。 $A \cap B = \{2, 5\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A \cap B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | -4 \le x \le 6, x \text{は整数}\}$、部分集合 $A = \{2, a-1, a\}$、 $B = \{-4, a-3, 10-a\}$ が与えられている。 $A \cap B = \{2, 5\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ と $\overline{A \cap B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{2, 5\}$ であることから、集合 $A$ と集合 $B$ の両方に 2 と 5 が含まれている必要がある。

A の要素から考えると、$2 \in A$ は確定しているので、$a-1$ または $a$ のどちらかが 5 でなければならない。

場合分けをして考える。

(i) $a-1 = 5$ の場合: $a = 6$ となる。

このとき、$A = \{2, 5, 6\}$、$B = \{-4, 3, 4\}$ となる。

$A \cap B = \{2, 5\}$ が満たされないので、$a=6$ は不適。

(ii) $a = 5$ の場合: $A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ となる。

このとき、$A \cap B = \{2, 5\}$ が満たされる。したがって、$a = 5$ は適する。

次に、$a = 5$ のときの $A \cup B$ と $\overline{A \cap B}$ を求める。

$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ であるから、

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$

$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B = \{2, 5\}$ の補集合である。

全体集合は $U = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ であるから、

$\overline{A \cap B} = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 6\}$

3. 最終的な答え

$a = 5$

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$

$\overline{A \cap B} = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 6\}$