(a) 不等式 $-3x < 6x - 1 < 4x + a$ について、 - $a = 2$ のときの $x$ の範囲を求める。 - この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するときの $a$ の範囲を求める。 (b) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta \sin \theta$ と $\cos^3 \theta + \sin^3 \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(a) 不等式 $-3x < 6x - 1 < 4x + a$ について、

- $a = 2$ のときの $x$ の範囲を求める。

- この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するときの $a$ の範囲を求める。

(b) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta \sin \theta$ と $\cos^3 \theta + \sin^3 \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(a)

不等式 $-3x < 6x - 1 < 4x + a$ について考える。

まず、$a = 2$ のとき、$-3x < 6x - 1 < 4x + 2$ となる。

この不等式を $2$ つの不等式に分解する。

$-3x < 6x - 1$ と $6x - 1 < 4x + 2$

$-3x < 6x - 1$ より

$1 < 9x$

$\frac{1}{9} < x$

$6x - 1 < 4x + 2$ より

$2x < 3$

$x < \frac{3}{2}$

したがって、$\frac{1}{9} < x < \frac{3}{2}$

次に、整数 $x$ がちょうど $2$ 個存在するときを考える。

$-3x < 6x - 1$ より $x > \frac{1}{9}$ であるから、整数 $x$ は $1, 2, \ldots$

$6x - 1 < 4x + a$ より $2x < a + 1$ であり $x < \frac{a+1}{2}$

整数 $x$ が $2$ 個存在するということは、$x = 1, 2$ である。

したがって、$2 < \frac{a+1}{2} \le 3$ であれば良い。

$4 < a + 1 \le 6$

$3 < a \le 5$

(b)

$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{4}$ の両辺を $2$ 乗すると、

$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$\cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta = \frac{1}{16}$

$1 + 2 \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{16}$

$2 \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{16} - 1 = - \frac{15}{16}$

$\cos \theta \sin \theta = - \frac{15}{32}$

次に、$\cos^3 \theta + \sin^3 \theta$ を求める。

$\cos^3 \theta + \sin^3 \theta = (\cos \theta + \sin \theta)(\cos^2 \theta - \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta)$

$= (\cos \theta + \sin \theta)(1 - \cos \theta \sin \theta)$

$= \frac{1}{4} \left(1 - \left( - \frac{15}{32} \right) \right)$

$= \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{15}{32} \right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{32 + 15}{32} \right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{47}{32} \right)$

$= \frac{47}{128}$

3. 最終的な答え

(a)

$a = 2$ のとき、$\frac{1}{9} < x < \frac{3}{2}$

整数 $x$ が $2$ 個存在するとき、$3 < a \le 5$

(b)

$\cos \theta \sin \theta = - \frac{15}{32}$

$\cos^3 \theta + \sin^3 \theta = \frac{47}{128}$