ある放物線を、x軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動し、さらにx軸に関して対称移動すると、放物線 $y = 2x^2 - 3x + 1$ に重なった。もとの放物線の方程式を求めよ。

代数学放物線平行移動対称移動二次関数
2025/7/4

1. 問題の内容

ある放物線を、x軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動し、さらにx軸に関して対称移動すると、放物線 y=2x23x+1y = 2x^2 - 3x + 1 に重なった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 y=2x23x+1y = 2x^2 - 3x + 1 をx軸に関して対称移動させる。x軸に関して対称移動すると、y座標の符号が変わるので、
yyy-y に置き換える。
y=2x23x+1-y = 2x^2 - 3x + 1
y=2x2+3x1y = -2x^2 + 3x - 1
次に、この放物線をx軸方向に-3、y軸方向に1だけ平行移動させる。平行移動の公式により、xxx+3x+3yyy1y-1 に置き換える。
y1=2(x+3)2+3(x+3)1y - 1 = -2(x + 3)^2 + 3(x + 3) - 1
y=2(x2+6x+9)+3x+91+1y = -2(x^2 + 6x + 9) + 3x + 9 - 1 + 1
y=2x212x18+3x+9y = -2x^2 - 12x - 18 + 3x + 9
y=2x29x9y = -2x^2 - 9x - 9
したがって、もとの放物線の方程式は y=2x29x9y = -2x^2 - 9x - 9 である。

3. 最終的な答え

y=2x29x9y = -2x^2 - 9x - 9

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