数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。 $a_1 = 1$ $a_{n+1} - a_n = -2n$

## (1) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_1 = 1$

$a_{n+1} - a_n = -2n$

2. 解き方の手順

これは階差数列の問題です。

$a_{n+1} - a_n = -2n$ という式は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{-2n\}$ であることを示しています。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の公式を用いて表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2k)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用います。

$a_n = 1 + (-2) \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 - n(n-1) = 1 - n^2 + n$

$a_n = -n^2 + n + 1$

次に、$n = 1$ のとき、この式が成り立つかどうかを確認します。

$a_1 = -1^2 + 1 + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$

これは与えられた条件 $a_1 = 1$ と一致するので、$n \ge 1$ でこの式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = -n^2 + n + 1$

## (2) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_1 = 3$

$a_{n+1} = a_n + 4n + 7$

2. 解き方の手順

これは階差数列の問題です。

$a_{n+1} - a_n = 4n + 7$ という式は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{4n + 7\}$ であることを示しています。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の公式を用いて表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 7)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用います。

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 7) = 3 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 7 = 3 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 7(n-1)$

$a_n = 3 + 2n(n-1) + 7n - 7 = 3 + 2n^2 - 2n + 7n - 7 = 2n^2 + 5n - 4$

次に、$n = 1$ のとき、この式が成り立つかどうかを確認します。

$a_1 = 2(1)^2 + 5(1) - 4 = 2 + 5 - 4 = 3$

これは与えられた条件 $a_1 = 3$ と一致するので、$n \ge 1$ でこの式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 + 5n - 4$

## (3) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_1 = 4$

$a_{n+1} - a_n = 3n^2$

2. 解き方の手順

これは階差数列の問題です。

$a_{n+1} - a_n = 3n^2$ という式は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{3n^2\}$ であることを示しています。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の公式を用いて表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ を用います。

$a_n = 4 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 4 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2}$

$a_n = 4 + \frac{n(2n^2 - 3n + 1)}{2} = 4 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{2} = \frac{8 + 2n^3 - 3n^2 + n}{2}$

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$

次に、$n = 1$ のとき、この式が成り立つかどうかを確認します。

$a_1 = \frac{2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 8}{2} = \frac{2 - 3 + 1 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

これは与えられた条件 $a_1 = 4$ と一致するので、$n \ge 1$ でこの式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = a_n + 5^n$

2. 解き方の手順

これは階差数列の問題です。

$a_{n+1} - a_n = 5^n$ という式は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{5^n\}$ であることを示しています。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の公式を用いて表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^k$

ここで、等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n-1} r^k = \frac{r(r^{n-1} - 1)}{r-1}$ を用います。

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^k = 2 + \frac{5(5^{n-1} - 1)}{5 - 1} = 2 + \frac{5(5^{n-1} - 1)}{4}$

$a_n = 2 + \frac{5^n - 5}{4} = \frac{8 + 5^n - 5}{4} = \frac{5^n + 3}{4}$

次に、$n = 1$ のとき、この式が成り立つかどうかを確認します。

$a_1 = \frac{5^1 + 3}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

これは与えられた条件 $a_1 = 2$ と一致するので、$n \ge 1$ でこの式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5^n + 3}{4}$