サイコロを $n$ 回振る試行を考える。$k$ 回目の試行で2以下の目が出たら1、3以上の目が出たら0をとる確率変数 $X_k$ を定義する。$X = X_1 + X_2 + ... + X_n$ で新たな確率変数 $X$ を定義すると、$X$ は $n$ 回のうち2以下の目が出た回数を表す。9000回サイコロを振るとき、2以下の目が出る回数 $X$ が $2900 \le X \le 3100$ となる確率を、中心極限定理を用いて求める。

1. 問題の内容

サイコロを $n$ 回振る試行を考える。$k$ 回目の試行で2以下の目が出たら1、3以上の目が出たら0をとる確率変数 $X_k$ を定義する。$X = X_1 + X_2 + ... + X_n$ で新たな確率変数 $X$ を定義すると、$X$ は $n$ 回のうち2以下の目が出た回数を表す。9000回サイコロを振るとき、2以下の目が出る回数 $X$ が $2900 \le X \le 3100$ となる確率を、中心極限定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

* まず、$P(X_1=1)$, $P(X_2=0)$, $P(X_1=1, X_2=0)$ を求める。サイコロを振って2以下の目が出る確率は $2/6 = 1/3$ であるから、$P(X_1=1) = 1/3$, $P(X_2=0) = 1 - 1/3 = 2/3$, $P(X_1=1, X_2=0) = P(X_1=1)P(X_2=0) = (1/3)(2/3) = 2/9$。

* 次に、$X_k$ の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を求める。$p = P(X_k = 1) = 1/3$, $q = 1 - p = 2/3$ とすると、$\mu = E[X_k] = 1 \times p + 0 \times q = p = 1/3$。$\sigma^2 = E[X_k^2] - \mu^2 = 1^2 \times p + 0^2 \times q - p^2 = p(1-p) = pq = (1/3)(2/3) = 2/9$。

* 確率変数 $Z$ を $Z = (X - n\mu) / \sqrt{n\sigma^2} = (X - np) / \sqrt{npq}$ と定義する。$n = 9000$, $p = 1/3$, $q = 2/3$ より、$np = 9000 \times (1/3) = 3000$, $npq = 9000 \times (1/3) \times (2/3) = 2000$。よって、$Z = (X - 3000) / \sqrt{2000}$。

* 中心極限定理を用いる。$P(2900 \le X \le 3100) = P((2900-3000)/\sqrt{2000} \le Z \le (3100-3000)/\sqrt{2000}) = P(-100/\sqrt{2000} \le Z \le 100/\sqrt{2000})$。ここで、$100/\sqrt{2000} = 100/(20\sqrt{5}) = 5/\sqrt{5} = \sqrt{5}$。

* 従って、$P(2900 \le X \le 3100) \approx \Phi(\sqrt{5}) - \Phi(-\sqrt{5}) = 2\Phi(\sqrt{5}) - 1$, ただし $\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数である。問題文には、$1 - 2(1 - \Phi(\sqrt{5}))$とあるので、2$\Phi(\sqrt{5})$ではなく、1 - 2$\phi(\sqrt{5})$と書いてあることに注意すると、

$P(2900 \le X \le 3100) \approx 2\Phi(\sqrt{5}) -1 \approx 1-2・(1 - \Phi(\sqrt{5})) = 1 - 2(1 - 0.977) = 1 - 2(0.023) = 1 - 0.046 = 0.954$。 $\Phi(2.236) \approx 0.9873$ より、$2\Phi(\sqrt{5}) - 1 \approx 2(0.9873) - 1 = 1.9746 - 1 = 0.9746$

ア: 1, イ: 3, ウ: 2, エ: 3, オ: 2, カ: 9, キ: 1, ク: 3, ケ: 2, コ: 3, サ: 3, シ: 0, ス: 0, セ: 0, ソ: 2, タ: 0, チ: 0, テ: 0, ト: 9, ナ: 5

3. 最終的な答え

ア: 1, イ: 3, ウ: 2, エ: 3, オ: 2, カ: 9, キ: 1, ク: 3, ケ: 2, コ: 3, サ: 3, シ: 0, ス: 0, セ: 0, ソ: 2, タ: 0, チ: 0, テ: 0, ト: 9, ナ: 5