問題は2つの部分に分かれています。 (1) 確率の問題: P地点から出発し、規則に従って進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求め、A, B, C地点に到達した場合の得点に基づいたゲームの期待値を求めます。 (2) 2次関数の問題: 2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフGについて、Gがx軸と接するための必要十分条件、Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。さらに、$a=2, bc=1, 0<b<1$ のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をBとして、三角形ABCの面積をbを用いて表します。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 確率の問題: P地点から出発し、規則に従って進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求め、A, B, C地点に到達した場合の得点に基づいたゲームの期待値を求めます。

(2) 2次関数の問題: 2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフGについて、Gがx軸と接するための必要十分条件、Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。さらに、$a=2, bc=1, 0<b<1$ のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をBとして、三角形ABCの面積をbを用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) 確率の問題:

(i) A地点に到達する確率：

Pから南に進む。最初の分岐点で4以下の目が出るとA地点へ進むので確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(ii) B地点に到達する確率：

Pから南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出ると直進する確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。次の分岐点で4以下の目が出るとB地点へ進むので確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。よってB地点へ到達する確率は$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

(iii) C地点に到達する確率：

Pから南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出ると直進する確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。次の分岐点で5以上の目が出るとC地点へ進むので確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。よってC地点へ到達する確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

(iv) 期待値：

期待値は、各地点に到達した場合の得点にその確率をかけたものの和です。

$1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{2}{9} + 3 \times \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{13}{9}$

(2) 2次関数の問題:

(i) $y = a(x-b)(x-c)$のグラフがx軸と接するための必要十分条件は、$b=c$である。このとき、$y = a(x-b)^2$ となり、頂点のy座標が0になる。

(ii) $y = a(x-b)(x-c)$のグラフがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$b \neq c$である。このとき、判別式が正となる。

(iii) $y = a(x-b)(x-c)$のグラフがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$y切片>0$である。y切片は$x=0$を代入した時のyの値なので、$y=a(0-b)(0-c)=abc$。よって、$abc>0$。

(3) $a=2, bc=1, 0<b<1$ のとき：

$c=1/b$。$y=2(x-b)(x-1/b)=2(x^2-(b+1/b)x+1/1)=2(x^2-(b+1/b)x+1)$。

y切片: $2(0-b)(0-1/b) = 2$

x切片: $b, 1/b$

Aの座標は(0, 2)。Bはx軸との交点なので、(b, 0), (1/b, 0)のいずれか。

三角形ABCの面積を考えるとき、C(1/b,0)とする。

底辺の長さは$|1/b - b| = |(1-b^2)/b| = (1-b^2)/b$。高さは$|2|=2$。

面積 = $\frac{1}{2} \times \frac{1-b^2}{b} \times 2 = \frac{1-b^2}{b}$

3. 最終的な答え

(1) 確率の問題:

A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$

B地点に到達する確率は $\frac{2}{9}$

ゲームの期待値は $\frac{13}{9}$

(2) 2次関数の問題:

(i) b=c、2

(ii) $b \neq c$、1

(iii) abc>0、7

(3) 三角形ABCの面積:

$\frac{1-b^2}{b}$