4人でじゃんけんをする問題と、赤玉5個、白玉4個、黒玉3個が入った袋から玉を取り出す問題です。じゃんけんに関する問題は3問（(6)Aだけが勝つ確率, (7)2人が勝ち2人が負ける確率, (8)あいこになる確率)で、玉を取り出す問題は2問((9)少なくとも1個が赤玉である確率, (10)2個が同じ色で残りの1個が違う色である確率)です。

1. 問題の内容

4人でじゃんけんをする問題と、赤玉5個、白玉4個、黒玉3個が入った袋から玉を取り出す問題です。じゃんけんに関する問題は3問（(6)Aだけが勝つ確率, (7)2人が勝ち2人が負ける確率, (8)あいこになる確率)で、玉を取り出す問題は2問((9)少なくとも1個が赤玉である確率, (10)2個が同じ色で残りの1個が違う色である確率)です。

2. 解き方の手順

(6) Aだけが勝つ確率

4人の中からAがどの手を出すか（グー、チョキ、パー）の3通りがあります。Aが勝つためには、残りの3人はAと違う手を出す必要があり、かつ3人全員が同じ手を出す必要があります。つまり、Aがグーなら、3人全員がチョキ、Aがチョキなら、3人全員がパー、Aがパーなら、3人全員がグーとなります。したがって、場合の数は3通りです。

4人の手の出し方は全部で $3^4 = 81$ 通りなので、確率は $3/81 = 1/27$ です。

(7) 2人が勝ち、2人が負ける確率

まず、4人の中から勝つ2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通りです。

次に、勝つ2人が出す手を決めます。3種類の手から1つ選ぶので3通りあります。

負ける2人は、勝つ2人が出した手に対して負ける手を出す必要があります。負ける手の出し方は1通りです。

したがって、場合の数は $6 \times 3 = 18$ 通りです。

4人の手の出し方は全部で $3^4 = 81$ 通りなので、確率は $18/81 = 2/9$ です。

(8) あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、全員が異なる手を出すか、または2種類の手が出ている場合です。

全員が同じ手を出す確率は $3/81 = 1/27$ です。

全員が異なる手を出す場合はありえません。

2種類の手が出る場合は、$3^4$ から全員が同じ手を出す場合を引いたものから3人が同じ手を出す場合を除いたものになります。

2種類の手が出るとき、手の組み合わせは3通り（例えばグーとチョキ、グーとパー、チョキとパー）あります。

それぞれの組み合わせにおいて、どの人がどの手を出すかを考える必要があります。

あいこになるのは、グー、チョキ、パー全ての手が出る場合と、2種類の手が同じ数だけ出る場合です。

全てのあいこになる確率を求めるのは複雑なので、余事象を考えます。つまり、あいこにならない確率（誰か一人が勝つ場合、または2人が勝つ場合）を求めて、1から引きます。

誰か一人が勝つ確率は(6)で求めたように、$1/27$。一人が勝つのは4人の中から誰か1人なので、$4/27$。

2人が勝つ確率は(7)で求めたように、$2/9 = 6/27$。

したがって、あいこにならない確率は、$4/27 + 6/27 = 10/27$。

あいこになる確率は、$1 - 10/27 = 17/27$ です。

(9) 少なくとも1個は赤玉である確率

余事象を考えます。つまり、3個とも赤玉でない確率を求め、1から引きます。

3個とも赤玉でない確率は、白玉4個と黒玉3個、合計7個から3個を取り出す確率です。

12個から3個を取り出す組み合わせは ${}_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ 通りです。

7個から3個を取り出す組み合わせは ${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

3個とも赤玉でない確率は $35/220 = 7/44$ です。

したがって、少なくとも1個は赤玉である確率は $1 - 7/44 = 37/44$ です。

(10) 2個は同じ色、残りの1個は違う色である確率

2個が同じ色で残りの1個が違う色である場合を考えます。

(i) 2個が赤玉の場合：

赤玉2個を取り出す組み合わせは ${}_5C_2 = 10$ 通り。残りの1個は白玉または黒玉なので、4+3=7通り。この場合の数は $10 \times 7 = 70$ 通りです。

(ii) 2個が白玉の場合：

白玉2個を取り出す組み合わせは ${}_4C_2 = 6$ 通り。残りの1個は赤玉または黒玉なので、5+3=8通り。この場合の数は $6 \times 8 = 48$ 通りです。

(iii) 2個が黒玉の場合：

黒玉2個を取り出す組み合わせは ${}_3C_2 = 3$ 通り。残りの1個は赤玉または白玉なので、5+4=9通り。この場合の数は $3 \times 9 = 27$ 通りです。

したがって、場合の数の合計は $70+48+27 = 145$ 通りです。

確率は $145/220 = 29/44$ です。

3. 最終的な答え

(6) $1/27$

(7) $2/9$

(8) $17/27$

(9) $37/44$

(10) $29/44$