1から9までの整数が書かれた9枚のカードから7枚を無作為に取り出す。取り出した7つの整数のうちの最大のものをXとする。 (1) Xが8以下である確率 $P(X \le 8)$ を求める。 (2) Xが8である確率 $P(X = 8)$ を求める。

1. 問題の内容

1から9までの整数が書かれた9枚のカードから7枚を無作為に取り出す。取り出した7つの整数のうちの最大のものをXとする。

(1) Xが8以下である確率 $P(X \le 8)$ を求める。

(2) Xが8である確率 $P(X = 8)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) Xが8以下である確率は、取り出した7枚のカードがすべて8以下の数字である確率である。8以下の数字は1から8までの8個である。

9枚のカードから7枚を取り出す組み合わせの総数は ${}_9C_7$である。

8以下の8枚のカードから7枚を取り出す組み合わせの数は ${}_8C_7$である。

したがって、$P(X \le 8) = \frac{{}_8C_7}{{}_9C_7}$である。

${}_8C_7 = \frac{8!}{7!(8-7)!} = \frac{8!}{7!1!} = \frac{8}{1} = 8$

${}_9C_7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

$P(X \le 8) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

(2) Xが8である確率は、取り出した7枚のカードのうち、最大のものが8である確率である。

これは、7枚のカードのうち、1枚が8で、残りの6枚が7以下の数字である確率である。

7以下の数字は1から7までの7個である。

7以下の7枚のカードから6枚を取り出す組み合わせの数は ${}_7C_6$である。

${}_7C_6 = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6!1!} = \frac{7}{1} = 7$

したがって、$P(X=8) = \frac{{}_7C_6}{{}_9C_7} = \frac{7}{36}$である。

$P(X \le 8) = \frac{2}{9} = \frac{8}{36}$

$P(X = 8) = \frac{7}{36}$

(1)の解答候補：18/19

${}_8C_7/{}_9C_7 = 8/36=2/9$なので、18と19にはそれぞれ2,9が入る。

(2)の解答候補：20/21/22

${}_7C_6/{}_9C_7 = 7/36$なので、20と21/22にはそれぞれ7,36が入る。

よって、

(1) $P(X \le 8) = \frac{18}{19} = \frac{2}{9}$

(2) $P(X = 8) = \frac{20}{21} = \frac{7}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) $\frac{7}{36}$