P地点から出発し、与えられた規則に従ってA地点とB地点に到達する確率を求め、さらにA, B, Cのいずれかに到達した場合に得られる点数に基づき、このゲームで得られる点の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

P地点から出発し、与えられた規則に従ってA地点とB地点に到達する確率を求め、さらにA, B, Cのいずれかに到達した場合に得られる点数に基づき、このゲームで得られる点の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する確率

P地点から南に進み、最初の分岐点で4以下の目が出る確率(2/3)で東に進みます。次に、分岐点で必ず南に進むため、A地点に到達します。

したがって、A地点に到達する確率は$2/3$です。

(2) B地点に到達する確率

P地点から南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出る確率(1/3)で南に進みます。次に、分岐点で4以下の目が出る確率(2/3)で西に進みます。そして、分岐点で必ず南に進むため、B地点に到達します。

したがって、B地点に到達する確率は$(1/3) * (2/3) = 2/9$です。

(3) C地点に到達する確率

P地点から南に進み、最初の分岐点で4以下の目が出る確率(2/3)で東に進みます。次に、分岐点で必ず南に進み、C地点に到達します。これはA地点に到達するのと同じルートです。

P地点から南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出る確率(1/3)で南に進みます。次に、分岐点で5以上の目が出る確率(1/3)で南に進みます。そして、C地点に到達します。

したがって、C地点に到達する確率は$(2/3) * (1/3) * 1 + (1/3)*(1/3) = 2/9 + 1/9 = 1/3$です。

(4) ゲームで得られる点の期待値

A地点に到達した場合1点、B地点に到達した場合2点、C地点に到達した場合0点が得られます。それぞれの確率と得点を掛け合わせた合計が期待値となります。

期待値 = $(2/3)*1 + (2/9)*2 + (1/3)*0 = 2/3 + 4/9 + 0 = 6/9 + 4/9 = 10/9$

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率は $2/3$ です。

(2) B地点に到達する確率は $2/9$ です。

ゲームで得られる点の期待値は $10/9$ です。