P地点から出発して規則に従って進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求める。また、A, B, Cのいずれかに到達した場合に得られる点数に応じて、このゲームで得られる点の期待値を求める。その後、二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフGに関する問題に答える。

1. 問題の内容

P地点から出発して規則に従って進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求める。また、A, B, Cのいずれかに到達した場合に得られる点数に応じて、このゲームで得られる点の期待値を求める。その後、二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフGに関する問題に答える。

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する確率

PからAへ行くには、最初にサイコロを振って5以上の目が出れば直進し、次にサイコロを振って4以下の目が出れば東へ進む。

最初のサイコロで5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。

次のサイコロで4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 。

よって、A地点に到達する確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ 。

(2) B地点に到達する確率

PからBへ行くには、最初にサイコロを振って5以上の目が出れば直進し、次にサイコロを振って4以下の目が出れば西へ進む。

最初のサイコロで5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。

次のサイコロで4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 。

よって、B地点に到達する確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ 。

次に期待値を求める。Aに到達する確率は $\frac{2}{9}$ で1点、Bに到達する確率は $\frac{2}{9}$ で2点、Cに到達する確率は $1 - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$ で3点。

よって、期待値は $\frac{2}{9} \times 1 + \frac{2}{9} \times 2 + \frac{5}{9} \times 3 = \frac{2 + 4 + 15}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ 。

(1)(i) $y=a(x-b)(x-c)$ がx軸と接するための必要十分条件は、$b=c$ である。

(ii) $y=a(x-b)(x-c)$ がx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$b \neq c$ である。

よって、(ウ)は2(=)、(エ)は3(>)である。

(iii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$abc > 0$ である。 よって、（オ）は7である。

(2) $a=2, bc=1, 0<b<1$ のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をB, Cとする。$\triangle ABC$の面積を$b$を用いて表す。

$y=2(x-b)(x-c) = 2(x-b)(x-\frac{1}{b}) = 2(x^2 - (b+\frac{1}{b})x + 1)$

y軸との交点Aは $(0, 2)$ 。

x軸との交点B, Cは $(b, 0), (\frac{1}{b}, 0)$ 。

$BC = |\frac{1}{b} - b| = \frac{1}{b} - b$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times 高さ = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{b} - b) \times 2 = \frac{1}{b} - b = \frac{1-b^2}{b}$

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率: $\frac{2}{9}$

(2) B地点に到達する確率: $\frac{2}{9}$

期待値: $\frac{7}{3}$

(1)(i)(ウ): 2, (エ): 3

(ii)(オ): 7

(2) $\triangle ABC$の面積: $\frac{1-b^2}{b}$