男子7人、女子8人、計15人のグループから代表を3人無作為に選ぶ。 (1) 男子から1人、女子から2人選ばれる確率を求めよ。 (2) 男子から少なくとも1人選ばれる確率を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

男子7人、女子8人、計15人のグループから代表を3人無作為に選ぶ。

(1) 男子から1人、女子から2人選ばれる確率を求めよ。

(2) 男子から少なくとも1人選ばれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 全体の選び方は、15人から3人を選ぶ組み合わせなので、${}_{15}C_3$通り。

男子から1人を選ぶ方法は${}_7C_1$通り。

女子から2人を選ぶ方法は${}_8C_2$通り。

よって、求める確率は

$\frac{{}_7C_1 \times {}_8C_2}{{}_{15}C_3}$

${}_7C_1 = 7$

${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${}_{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

したがって、求める確率は

$\frac{7 \times 28}{455} = \frac{196}{455} = \frac{28}{65}$

(2) 男子から少なくとも1人選ばれる確率は、1 - (男子が1人も選ばれない確率)で求められる。

男子が1人も選ばれない、つまり3人とも女子が選ばれる場合の数は${}_8C_3$通り。

${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

したがって、男子が1人も選ばれない確率は

$\frac{{}_8C_3}{{}_{15}C_3} = \frac{56}{455} = \frac{8}{65}$

よって、男子から少なくとも1人選ばれる確率は

$1 - \frac{8}{65} = \frac{65 - 8}{65} = \frac{57}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{28}{65}$

(2) $\frac{57}{65}$

## 問題2

1. 問題の内容

3つのさいころを同時に投げる。

(3) 3つとも違う目がでる確率を求めよ。

(4) 2つは同じで1つは違う目が出る確率を求めよ。

(5) 最大の目が3である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) 全事象は $6^3 = 216$通り。

3つとも違う目が出るのは、1つ目のさいころは6通り、2つ目のさいころは1つ目の目以外の5通り、3つ目のさいころは1,2つ目の目以外の4通り。ただし、目の順番は考慮しないので、$6 \times 5 \times 4$ で計算後、目の順序を考慮すると $6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

よって、求める確率は

$\frac{6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$

(4) 2つは同じで1つは違う目が出る場合。

同じ目が1から6のどれかであるかを決めると6通り。

違う目が残りの5つの目のどれかであるかを決めると5通り。

どの目が異なるかを決めると3通り。

したがって、 $6 \times 5 \times 3 = 90$通り。

求める確率は

$\frac{90}{216} = \frac{5}{12}$

(5) 最大の目が3であるということは、3つのサイコロの目がすべて3以下で、少なくとも1つは3であるということ。

3つのサイコロの目がすべて3以下である場合の数は $3^3 = 27$通り。

3つのサイコロの目がすべて2以下である場合の数は $2^3 = 8$通り。

よって、少なくとも1つが3である場合の数は $27 - 8 = 19$通り。

求める確率は

$\frac{19}{216}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{5}{9}$

(4) $\frac{5}{12}$

(5) $\frac{19}{216}$