問題は、ある規則に従って道路を進む場合の確率と期待値を求める問題、そして2次関数に関する問題です。 最初の問題は、P地点から出発して、サイコロの出目に応じて道を進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率、そしてA, B, C地点への到達に応じて得られる得点の期待値を求める問題です。 次の問題は、2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフGに関する問題で、Gがx軸と接するための必要十分条件、x軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、そしてy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める問題です。最後に、$a=2, bc=1, 0<b<1$のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をB,Cとして、三角形ABCの面積をbを用いて表す問題です。

1. 問題の内容

問題は、ある規則に従って道路を進む場合の確率と期待値を求める問題、そして2次関数に関する問題です。

最初の問題は、P地点から出発して、サイコロの出目に応じて道を進むとき、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率、そしてA, B, C地点への到達に応じて得られる得点の期待値を求める問題です。

次の問題は、2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフGに関する問題で、Gがx軸と接するための必要十分条件、x軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、そしてy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める問題です。最後に、$a=2, bc=1, 0<b<1$のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をB,Cとして、三角形ABCの面積をbを用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する確率

P地点からA地点へ行くには、最初の分岐点で4以下の目が出て西へ行き、次の分岐点で必ず南へ行く必要があります。サイコロの目が4以下である確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$です。したがって、A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$ です。

(2) B地点に到達する確率

P地点からB地点へ行くには、最初の分岐点で5以上の目が出て直進し、次の分岐点で4以下の目が出て西へ行き、次の分岐点で必ず南へ行く必要があります。サイコロの目が5以上である確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。したがって、B地点に到達する確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ です。

A, B, Cのいずれかの地点に到達したらゲーム終了で、Aに到達したら1点、Bに到達したら2点、Cに到達したら3点を得ます。

C地点へはPから真直ぐ進み、次の分岐点で4以下の目が出て東へ行く必要があるので確率は$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$です。

したがって、得られる点の期待値は

$1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{9} + 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{16}{9}$

(3) 2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ について

(i) Gがx軸と接するための必要十分条件は、$b = c$である。

また、Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$b \neq c$である。

対応する番号は、それぞれ2と4です。

(ii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$abc > 0$である。

対応する番号は7です。

(4) $a=2, bc=1, 0<b<1$のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をB、Cとする。

$G$の式は $y = 2(x-b)(x-c) = 2(x-b)(x-\frac{1}{b}) = 2(x^2 - (b+\frac{1}{b})x + 1)$ となります。

Aのy座標は $x=0$のときなので、$y = 2(0-b)(0-c) = 2bc = 2$ となります。したがって、Aの座標は(0, 2)です。

BとCのx座標はそれぞれbと1/bなので、B(b, 0), C(1/b, 0)です。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot |b - \frac{1}{b}| \cdot 2 = |b - \frac{1}{b}| = \frac{1}{b} - b$ です。

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率: $\frac{2}{3}$

(2) B地点に到達する確率: $\frac{2}{9}$, 期待値: $\frac{16}{9}$

(3) (i) $b=c$ (2), $b \neq c$ (4)

(ii) $abc > 0$ (7)

(4) 三角形ABCの面積: $\frac{1}{b} - b$