ある噂（総選挙がある、または総選挙がない）が伝播していく際に、噂を聞いた人が次に伝える噂の内容が確率的に変わる。噂が広まっていくにつれて、「総選挙がある」と聞く人の割合と「総選挙がない」と聞く人の割合が、ある一定の値に近づくことを示す問題です。$n$人を経由した後の噂の状態を表すベクトルを$x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$とすると、$x_n$と$x_{n-1}$の関係は行列で表される。その行列を求め、最終的な割合が一定値に落ち着くことを示す。

1. 問題の内容

ある噂（総選挙がある、または総選挙がない）が伝播していく際に、噂を聞いた人が次に伝える噂の内容が確率的に変わる。噂が広まっていくにつれて、「総選挙がある」と聞く人の割合と「総選挙がない」と聞く人の割合が、ある一定の値に近づくことを示す問題です。$n$人を経由した後の噂の状態を表すベクトルを$x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$とすると、$x_n$と$x_{n-1}$の関係は行列で表される。その行列を求め、最終的な割合が一定値に落ち着くことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 遷移確率行列$A$を求める。

問題文より、以下の情報が与えられています。

* 「総選挙がある」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率：0.8

* 「総選挙がある」と聞いた人が、他者に「総選挙がない」と伝える確率：0.2

* 「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率：0.3

* 「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がない」と伝える確率：0.7

したがって、遷移確率行列 $A$ は次のようになります。

$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$

(2) 定常状態（割合が一定になる状態）を求める。

定常状態では、$x_n = x_{n-1} = x$となる。したがって、$x = Ax$が成り立つ。

$x = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$とすると、

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$

この式から、以下の連立方程式が得られます。

$a = 0.8a + 0.3b$

$b = 0.2a + 0.7b$

さらに、$a + b = 1$である必要がある。

上記の式を整理すると、

$0.2a = 0.3b$

$a = \frac{3}{2}b$

$a + b = \frac{3}{2}b + b = \frac{5}{2}b = 1$

$b = \frac{2}{5} = 0.4$

$a = 1 - b = 1 - 0.4 = 0.6$

したがって、定常状態のベクトルは$x = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}$となる。

(3) 十分に時間が経つと、状態ベクトルが定常状態に収束することを示す。

定常状態が存在し、かつ遷移行列の性質から、初期状態に依らず、十分に時間が経つと状態ベクトルは定常状態に収束する。つまり、「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6に、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4に近づく。

3. 最終的な答え

「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6に、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4にそれぞれ一定値に近づきます。