全体集合 $U$ を30以下の自然数の集合とし、$A$ を2の倍数の集合、$B$ を5の倍数の集合とするとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(A \cup B)$ (4) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を30以下の自然数の集合とし、$A$ を2の倍数の集合、$B$ を5の倍数の集合とするとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(A \cup B)$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$ は30以下の2の倍数の個数です。

$30 \div 2 = 15$ より、$n(A) = 15$ です。

(2) $n(B)$ は30以下の5の倍数の個数です。

$30 \div 5 = 6$ より、$n(B) = 6$ です。

(3) $n(A \cup B)$ は $A$ または $B$ に属する要素の個数です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用います。

$A \cap B$ は2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数の集合です。

30以下の10の倍数は、10, 20, 30 の3つなので、$n(A \cap B) = 3$ です。

したがって、$n(A \cup B) = 15 + 6 - 3 = 18$ です。

(4) $n(\overline{A \cup B})$ は $A \cup B$ の補集合の要素の個数です。つまり、$A$ にも $B$ にも属さない要素の個数です。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ を用います。

$n(U) = 30$ であり、$n(A \cup B) = 18$ なので、

$n(\overline{A \cup B}) = 30 - 18 = 12$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 15$

(2) $n(B) = 6$

(3) $n(A \cup B) = 18$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 12$