1. 問題の内容
ある数に対して、桁数に応じて各桁の数字の2乗の和を計算する操作を繰り返す。最初の数が9のとき、2025回目の操作の結果求まる数は何かを求める問題。
2. 解き方の手順
最初の数が9の場合、操作を繰り返して数列を生成し、周期性を見つける。
9 -> 9^2 = 81
81 -> 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65
65 -> 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61
61 -> 6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37
37 -> 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58
58 -> 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89
89 -> 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145
145 -> 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42
42 -> 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20
20 -> 2^2 + 0^2 = 4
4 -> 4^2 = 16
16 -> 1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37
ここで37が現れたので、37以降は同じ数列が繰り返される。
37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ...
37からは8個の数の周期を持つ。
最初の数が9のとき、操作を2025回行う。最初の9と81を除いて、2025 - 2 = 2023回操作を行う。
2023を8で割ると、2023 = 8 * 252 + 7 なので、2023回操作を行うと37から始まる数列の7番目の数になる。
37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16 の7番目の数は4。
したがって、2025回目の操作の結果求まる数は4。
3. 最終的な答え
4