与えられた数 $\sqrt{10}$ が有理数か無理数かを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $\sqrt{10}$ が有理数か無理数かを判定する問題です。

2. 解き方の手順

有理数とは、整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ を用いて $\frac{a}{b}$ の形で表せる数のことです。無理数とは、有理数ではない数のことです。

$\sqrt{10}$ が有理数であると仮定すると、ある整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ を用いて

$$\sqrt{10} = \frac{a}{b}$$

と表せます。ここで、$a$ と $b$ は互いに素であると仮定します。両辺を2乗すると

$$10 = \frac{a^2}{b^2}$$

$$10b^2 = a^2$$

この式から、$a^2$ は $10$ の倍数なので、$a$ は $10$ の倍数となります。したがって、$a = 10k$ ($k$ は整数) と表せます。これを $10b^2 = a^2$ に代入すると、

$$10b^2 = (10k)^2$$

$$10b^2 = 100k^2$$

$$b^2 = 10k^2$$

この式から、$b^2$ は $10$ の倍数なので、$b$ も $10$ の倍数となります。

すると、$a$ も $b$ も $10$ の倍数となり、$a$ と $b$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。したがって、$\sqrt{10}$ は有理数ではありません。

3. 最終的な答え

無理数