問題1：$1000!$ を計算したとき、一の位から続けていくつの0が並ぶか。 問題2：50以下の2桁の正の整数について、 (1) 正の約数の個数がちょうど2個になる整数の個数を求めよ。 (2) 正の約数の個数がちょうど9個になる整数を求めよ。

1. 問題の内容

問題1：$1000!$ を計算したとき、一の位から続けていくつの0が並ぶか。

問題2：50以下の2桁の正の整数について、

(1) 正の約数の個数がちょうど2個になる整数の個数を求めよ。

(2) 正の約数の個数がちょうど9個になる整数を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：$1000!$ に含まれる因数5の個数を求める。因数2の個数は因数5の個数よりも多いので、因数5の個数が末尾に並ぶ0の個数に等しくなる。

1000以下の5の倍数は $\lfloor \frac{1000}{5} \rfloor = 200$ 個

1000以下の25の倍数は $\lfloor \frac{1000}{25} \rfloor = 40$ 個

1000以下の125の倍数は $\lfloor \frac{1000}{125} \rfloor = 8$ 個

1000以下の625の倍数は $\lfloor \frac{1000}{625} \rfloor = 1$ 個

よって、$1000!$ に含まれる因数5の個数は $200 + 40 + 8 + 1 = 249$ 個

問題2：

(1) 正の約数の個数がちょうど2個になる整数は素数である。50以下の2桁の素数は、11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 の11個である。

(2) 正の約数の個数が9個になる整数は、$p^8$ または $p^2 q^2$ （p, qは異なる素数）の形である。

50以下の整数で$p^8$の形になるものは存在しない。

$p^2q^2=(pq)^2$なので、約数の個数が9個の数はある整数の2乗になる。

$p^2q^2$の形の場合、約数の個数は$(2+1)(2+1)=9$となる。

したがって、求める整数は異なる素数p, qを用いて、$(pq)^2 \le 50$ を満たす必要がある。

$pq \le \sqrt{50} \approx 7.07$を満たす必要がある。

2桁の整数でこの条件を満たすのは、

$6^2 = 36 = (2*3)^2 = 2^2 * 3^2$

これ以外の組み合わせはない。

3. 最終的な答え

問題1：249個

問題2：

(1) 11個

(2) 36