与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。 (1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。 (2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。 (3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。

(1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について、具体例を考えて検証します。

(1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。

無理数を $\sqrt{2}$、有理数を $1$ とすると、和は $\sqrt{2} + 1$ です。これは無理数です。

一般に、無理数 $a$ と有理数 $b$ の和が有理数 $c$ だと仮定すると、$a+b = c$ より、$a = c-b$ となり、$a$ も有理数になるはずです。これは矛盾です。したがって、無理数と有理数の和は常に無理数です。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。

(1)の例 $\sqrt{2} + 1$ で反例が見つかるので、この選択肢は誤りです。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

無理数を $\sqrt{2}$、有理数を $2$ とすると、積は $2\sqrt{2}$ であり、無理数です。

しかし、有理数として $0$ を選ぶと、積は $0 \cdot \sqrt{2} = 0$ であり、有理数になります。したがって、この選択肢は誤りです。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

有理数を $1$、無理数を $\sqrt{2}$ とすると、積は $\sqrt{2}$ であり、無理数です。

しかし、有理数として $0$ を選ぶと、積は $0 \cdot \sqrt{2} = 0$ であり、有理数になります。したがって、この選択肢は誤りです。

ただし、有理数が$0$でないとき、有理数と無理数の積は無理数になります。

なぜなら、有理数$b$と無理数$a$の積$ba$が有理数$c$だと仮定すると、$b \ne 0$ならば、$a = \frac{c}{b}$ となり、$a$ も有理数になるはずです。これは矛盾です。したがって、$b \ne 0$のとき、有理数と無理数の積は常に無理数です。

3. 最終的な答え

1と3が正しい

(1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

ただし、(3)は有理数が0でない場合。