与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。 各選択肢は以下の通りです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものをすべて選ぶ問題です。

各選択肢は以下の通りです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ は有理数です。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

これは正しいです。有理数は分数 $\frac{p}{q}$ (p, q は整数、q ≠ 0) で表せる数です。

有理数 $\frac{p_1}{q_1}$ と $\frac{p_2}{q_2}$ の差は $\frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$ となり、分子 ($p_1q_2 - p_2q_1$) と分母 ($q_1q_2$) は整数であり、分母は0ではないため、有理数です。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ は有理数です。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

これは正しいです。もし、有理数 $a$ と無理数 $b$ の商 $\frac{a}{b}$ が有理数であると仮定すると、$\frac{a}{b} = c$ (cは有理数) となります。すると、$b = \frac{a}{c}$ となり、有理数同士の商なので$b$は有理数となるはずですが、$b$は無理数なので矛盾します。ただし、$a = 0$ の場合は、商は0になり有理数です。問題文に特に断りがないため、$a \ne 0$であると解釈してよいでしょう。

3. 最終的な答え

(2)と(4)