整数全体の集合を $Z$ とするとき、集合 $A = \{4x+3y | x \in Z, y \in Z\}$ と $B = \{5x+2y | x \in Z, y \in Z\}$ が等しいことを証明せよ。

1. 問題の内容

整数全体の集合を $Z$ とするとき、集合 $A = \{4x+3y | x \in Z, y \in Z\}$ と $B = \{5x+2y | x \in Z, y \in Z\}$ が等しいことを証明せよ。

2. 解き方の手順

集合の相等を証明するには、$A \subset B$ かつ $B \subset A$ を示す必要があります。

(i) $A \subset B$ の証明

$a \in A$ を任意にとると、$a = 4x + 3y$ ($x, y \in Z$) と表せる。

ここで、$4x+3y$ を $5x' + 2y'$ の形に変形することを考える。

$4x+3y = 5(ax+by) + 2(cx+dy)$ となるような整数 $a, b, c, d$ が存在することを示したい。

この式を変形すると、$4x+3y = (5a+2c)x + (5b+2d)y$ となる。

$5a+2c=4$ かつ $5b+2d=3$ を満たす整数 $a, b, c, d$ を見つければ良い。

例えば、$a = 0, c = 2$ とすると、$5a+2c = 4$ を満たす。

また、$b = 1, d = -1$ とすると、$5b+2d = 3$ を満たす。

したがって、$4x+3y = 5(0\cdot x + 1 \cdot y) + 2(2\cdot x + (-1) \cdot y) = 5y + 2(2x-y)$

ここで、$x, y \in Z$ より、$y \in Z$ かつ $2x-y \in Z$ なので、$5y + 2(2x-y) \in B$。

したがって、$a \in B$ となり、$A \subset B$ が示された。

(ii) $B \subset A$ の証明

$b \in B$ を任意にとると、$b = 5x + 2y$ ($x, y \in Z$) と表せる。

ここで、$5x+2y$ を $4x' + 3y'$ の形に変形することを考える。

$5x+2y = 4(ax+by) + 3(cx+dy)$ となるような整数 $a, b, c, d$ が存在することを示したい。

この式を変形すると、$5x+2y = (4a+3c)x + (4b+3d)y$ となる。

$4a+3c=5$ かつ $4b+3d=2$ を満たす整数 $a, b, c, d$ を見つければ良い。

例えば、$a = 2, c = -1$ とすると、$4a+3c = 5$ を満たす。

また、$b = -1, d = 2$ とすると、$4b+3d = 2$ を満たす。

したがって、$5x+2y = 4(2\cdot x + (-1) \cdot y) + 3((-1)\cdot x + 2 \cdot y) = 4(2x-y) + 3(-x+2y)$

ここで、$x, y \in Z$ より、$2x-y \in Z$ かつ $-x+2y \in Z$ なので、$4(2x-y) + 3(-x+2y) \in A$。

したがって、$b \in A$ となり、$B \subset A$ が示された。

(i), (ii) より、$A \subset B$ かつ $B \subset A$ なので、$A = B$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

A = B