(1) $6^{2024}$ を11で割った余りを求める。 (2) $6^{2024}$ の下2桁の数字を求める。

1. 問題の内容

(1) $6^{2024}$ を11で割った余りを求める。

(2) $6^{2024}$ の下2桁の数字を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$6^1 \equiv 6 \pmod{11}$

$6^2 \equiv 36 \equiv 3 \pmod{11}$

$6^3 \equiv 6 \times 3 \equiv 18 \equiv 7 \pmod{11}$

$6^4 \equiv 6 \times 7 \equiv 42 \equiv 9 \pmod{11}$

$6^5 \equiv 6 \times 9 \equiv 54 \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}$

したがって、$6^{10} \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{11}$ となる。

$2024 = 10 \times 202 + 4$ なので、

$6^{2024} = 6^{10 \times 202 + 4} = (6^{10})^{202} \times 6^4 \equiv 1^{202} \times 6^4 \equiv 1 \times 9 \equiv 9 \pmod{11}$

(2)

$6^1 = 6$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

$6^4 = 1296$

$6^5 = 7776$

$6^n$ の下2桁を考える。

$6^1 \equiv 6 \pmod{100}$

$6^2 \equiv 36 \pmod{100}$

$6^3 \equiv 216 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^4 \equiv 1296 \equiv 96 \pmod{100}$

$6^5 \equiv 7776 \equiv 76 \pmod{100}$

$6^6 \equiv 76 \times 6 \equiv 456 \equiv 56 \pmod{100}$

$6^7 \equiv 56 \times 6 \equiv 336 \equiv 36 \pmod{100}$

$6^8 \equiv 36 \times 6 \equiv 216 \equiv 16 \pmod{100}$

周期性があることがわかる。

$6^2 \equiv 36 \pmod{100}$

$6^3 \equiv 16 \pmod{100}$

$6^4 \equiv 96 \pmod{100}$

$6^5 \equiv 76 \pmod{100}$

$6^6 \equiv 56 \pmod{100}$

$6^7 \equiv 36 \pmod{100}$

$n \geq 2$ に対して、$6^n$ の下2桁は、 $n \pmod{5}$ によって決まる。

$2024 \equiv 4 \pmod{5}$なので、$6^{2024}$ の下2桁は、$6^4$ の下2桁と同じになる。

したがって、$6^{2024}$ の下2桁は $96$ である。

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 96