$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が無理数であることを対偶を考えることによって証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が無理数であることを対偶を考えることによって証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$\sqrt{5} + \sqrt{7} = r$ (rは有理数)と表せる。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = r^2$

$5 + 2\sqrt{35} + 7 = r^2$

$12 + 2\sqrt{35} = r^2$

$2\sqrt{35} = r^2 - 12$

$\sqrt{35} = \frac{r^2 - 12}{2}$

$r$が有理数なので、$\frac{r^2 - 12}{2}$も有理数である。

したがって、$\sqrt{35}$は有理数となる。

ここで、$35 = 5 \times 7$ である。

もし $\sqrt{35}$ が有理数ならば、$\sqrt{35} = \frac{p}{q}$ (p, qは互いに素な整数、q ≠ 0) と表せる。

両辺を2乗すると、

$35 = \frac{p^2}{q^2}$

$35q^2 = p^2$

$p^2$ は 35 の倍数であるため、$p$ も 35 の倍数でなければならない。したがって、$p = 35k$ (kは整数) と書ける。

$35q^2 = (35k)^2$

$35q^2 = 35^2 k^2$

$q^2 = 35k^2$

同様に、$q^2$ は 35 の倍数であるため、$q$ も 35 の倍数でなければならない。

しかし、これは $p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{35}$ は無理数である。

$\sqrt{35} = \frac{r^2 - 12}{2}$ において、左辺は無理数、右辺は有理数なので矛盾する。

よって、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ は無理数である。