与えられた選択肢の中から、正しい記述をすべて選択する問題です。選択肢は、無理数と有理数の和または積が、常に無理数または有理数になるかどうかを述べています。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しい記述をすべて選択する問題です。選択肢は、無理数と有理数の和または積が、常に無理数または有理数になるかどうかを述べています。

2. 解き方の手順

各選択肢について、具体例を考えながら吟味します。

* 選択肢1: 無理数と有理数の和は常に無理数である。

無理数を $\sqrt{2}$、有理数を 1 とすると、$\sqrt{2} + 1$ は無理数です。

一般に、有理数 $a$ と無理数 $b$ の和 $a+b$ が有理数であると仮定すると、$a+b = c$ (cは有理数) となります。このとき、$b = c - a$ となり、$b$ は有理数同士の差なので有理数となりますが、これは $b$ が無理数であるという仮定に矛盾します。よって、$a+b$ は無理数です。したがって、この選択肢は正しいです。

* 選択肢2: 無理数と有理数の和は常に有理数である。

選択肢1で反例を挙げたように、無理数と有理数の和は無理数になる場合があるので、この選択肢は誤りです。

* 選択肢3: 無理数と有理数の積は常に無理数である。

無理数を $\sqrt{2}$、有理数を 0 とすると、$\sqrt{2} \times 0 = 0$ は有理数です。したがって、この選択肢は誤りです。

ただし、有理数が 0 でない場合は、常に無理数となります。有理数を $a$ (ただし、$a \neq 0$)、無理数を $b$ とすると、$ab$ が有理数であると仮定すると、$ab = c$ (cは有理数) となります。このとき、$b = c/a$ となり、$b$ は有理数同士の商なので有理数となりますが、これは $b$ が無理数であるという仮定に矛盾します。よって、$ab$ は無理数です。

* 選択肢4: 有理数と無理数の積は常に有理数である。

選択肢3で反例を挙げたように、有理数と無理数の積は有理数になる場合があるので、この選択肢は誤りです。

3. 最終的な答え

選択肢1が正しいです。